Measure theory

Measure theory라는 강의에 대한 내용을 정리하겠습니다. 

사실 이 부분은 처음이기도 하고 해서 아직도 제대로 이해가 되지는 않네요 ㅠㅠ.

우리가 사실 Set theory에서 집합을 어떻게 정의하고 어떻게 이루어져 있는지를 알 수 있어요. 

하지만 그렇다고 그 각각 개별에 대한 measure를 정의해놓은 것은 아니에요.

우리가 어떤 행위를 하려고 할 때 measure은 필수적이에요. 

 

예를 들어서, 사람들의 몸무게를 잰다고 가정할 때, 나이순으로 할지, 성별별로 할지, 몸무게 순으로 할지, 

이러한 measure를 아직 정하지 않았다는 소리에요.

 

그래서 간단하게 생각하면, 어떤 사람의 몸무게가 70kg다. 이게 measure이고, 어떤 두 사람의 몸무게를 재었더니 140kg이다. 

이 자체가 measure라고 표현할 수 있어요.

 

그래서 수학안에서는 이 measure를 측정하기 위해서, 

σ- field B 

 

라는 개념이 등장하게 됩니다.

 

이 시그마필드의 특징은 

1. 공집합이 들어가구요 

2. 10개의 집합에서 3개의 집합이 들어가있다면 나머지 7개의 집합도 들어가야 하구요(예를 들어서, 100명 중에 2명의 몸무게를 잴 수 있다면, 나머지 98명 또한 잴 수 있어야한다는 의미입니다) 

3. 또한, 시그마필드 내의 원소를 합쳤을 때, 그 합쳐진 원소도 시그마필드에 들어가 있어야 해요. (A와 B의 몸무게를 잴 수 있다면, A+B의 몸무게도 잴 수 있어야합니다.)

제일 쉽게 말하면 시그마 필드는 '면적을 주기위한 최소 단위' 라고 생각하시면 됩니다.

그래서 여러분이 제일 익숙할만한 시그마 필드는 power-set입니다. 2^A, 즉 모든 부분집합을 포함하는 집합이라는 거죠. 또는, 어떤 원소들을 제일 잘게 나눠서 가지고 있는 집합이라고도 표현할 수 있겠네요.

따라서, 위 특징에 따르면 어떠한 element가 시그마필드에 들어가 있지 않다면, 그는 measured될 수 없습니다.

예를 들면, 어떤 시그마필드에 0명의 몸무게와 100명의 몸무게가 원소로 들어있다면, 이는 각각의 몸무게는 잴 수 없다는 것입니다. 이때, 각각의 몸무게는 0도 아니고, 어떠한 수치를 가지고 있지 않습니다. 그냥 '불가능하다'라고 표현합니다.

이를 이용해서 수학자들은 measure space를 정의하게 됩니다.

 

1.  공간을 확장했다고 생각하면 됩니다. 원래는 사람밖에 없었는데 몸무게라는 measure를 추가함으로써 확장시킨 것이죠.

2. 그래서 measure의 정의가 뭐냐면, U라는 set이 있고, 그로부터 만들어지는 시그마 필드 B가 있을 때,

empty set은 0이어야하고, 시그마필드 안에서 겹치지 않는 원소들을 더해서 구한 measure와 각각의 measure을 더한 값이 같아야 합니다.

 -> A(X+Y) = A(X) + A(Y) 라고 쉽게 생각해보세요!

3.전체가 들어가면 1이 되는 normalized된 measure가 확률이다. 

(확률에서 전체를 더하면 1이 되죠? 이 개념을 설명할 때 measure theory를 이용하는 이유입니다.)

 

4. 

U라는 어떤 set이 있고, 

U의 element로 이루어진 subset들의 집합인 시그마필드가 있고, 

시그마필드의 각각의 원소에 양수를 부여할 수 있는 measure가 있고, 

그 measure가 1번과 2번의 조건을 만족한다면 그게 measure space로 정의 되어 질 수 있습니다.

 

Reference

edwith 강의, 최성준님