대학원생이 쉽게 설명해보기

이항분포로 성공, 실패를 다루었다면 3개 이상의 사건에 대한 결과가 나타날때는 어떻게 해야할까요?

3개 이상, 예를 들어, 주사위의 각 면이 나올 경우는 6가지이죠. 

각 분포의 경우에서 보면,

이렇게 다수의 결과를 가지는 경우에는 다항분포를 사용하여야 합니다.

< PMF >

pmf는 약간 중복순열(생각하는 정의가 거의 비슷(?))과 비슷한 모양을 띄어서 생각보다 이해하기가 쉽습니다

< 기댓값과 분산 >

이산확률분포 중 하나인 음이항 분포는 기하분포와 상당히 비슷한 특징을 가진다.

기하분포는 n번의 시행에서 1번의 성공과 n-1번의 실패에 대한 확률을 구했다면,

음이항 분포는 n번의 시행(여러번의 베르누이 독립시행)에서 r번 성공할 확률을 구합니다.

< PMF > 

X : n + r   r : 성공횟수    n : 실패횟수

조합에서 -1을 해주는 이유는 기하분포의 특성처럼 음이항분포 또한, 마지막 시행은 무조건 성공이기 때문입니다. 따라서 마지막 성공 이전의 경우만 중복없이 순열처럼 나열하는 경우가 오게 됩니다. 

< 기댓값과 분산 > 

r (성공횟수) 가 1일 경우, 정확히 기하분포와 일치합니다. 따라서 음이항분포는 기하분포의 경우중 하나라고 할 수 있습니다. 

기하분포 또한, 베르누이 분포의 확장판이라고 생각하면 됩니다. 

어떤 이벤트에서 내가 한번 성공하기까지의 확률을 알고싶을 때 사용하고, 이를 기하분포를 따른다고 표현합니다.

각 시행은 독립적이며 k = 1,2,3,....일 떄,

< 기하분포의 무기억성 >

< 기하분포 평균 차이점 >

평균이 (1/p) 일 경우가 있고, (1-p/p)일 경우가 있다. 이렇게 다른 이유는 다음과 같고, 자신이 맞는 상황에 따라 쓰면 된다.

초기하 분포(hypergeometric dist.)

빨간공 5개, 파란공 5개가 있다고 할 때, 복원 추출에서의 빨간공 x개, 파란공 y개를 뽑을 확률은 이항분포를 따르게 됩니다. 

예를 들어, 빨간공을 성공, 파란공을 실패로 두어 각각 독립적인 사건의 연속적 시행이라고 보면 되니까요. 

복원일 경우입니다.

복원 추출이 아닌, 비복원 추출일 시 이를 초기하 분포를 따른다고 표현할 수 있습니다. 

현재 시점에서 발생하는 사건은 정확히 이전 사건에 영향을 받게 됩니다. 왜냐하면 공 1개가 줄어들엇거든요.

초기하 분포의 PMF

전체 갯수 N에서 총 n개의 공을 뽑는다고 가정할 시,

빨간공 M개 중 x개를 뽑고, 파란공 (N-M)개 중 (n-x)개를 뽑는 경우

초기하 분포의 E(X) : np

초기하 분포의 VAR(X) : (N-n / N-1) * (npq) if q = 1 - p

이항분포란, 

- n번의 독립적인 베르누이 시행(p)에서 성공 횟수의 분포는 Bin(n, p)를 따른다. 

PMF(확률질량변수)

기댓값 E(X) = np

분산 VAR(X) = npq

예제)

5지 선다형 문제 25문제를 다 맞출 확률은 무엇인가?

25C25 * (1/5)^25 * (4/5)^0 입니다. (엄청 작아요)